Sobolev-rom

Innen matematikk er Sobolev-rom et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et $L^p$-rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men ikke i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.

Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av $L^p$-normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For $p=2$, altså der funksjonene og deres deriverte er $L^2$-funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.

Definisjon

La $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ for $n\ge 1$, $s$ et ikke-negativt heltall og $p$ et tall slik at $1\le p\le \mathrm{\infty }$. Sobolev-rommet $W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ består av alle lokalt deriverbare funksjoner $u:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ slik at for alle multiindekser $\alpha$ slik at $|\alpha |\le k$, eksisterer de (svake) deriverte $D^{\alpha }u$ og tilhører $L^p(\mathrm{\Omega })$.

Dersom $u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ definerer vi den tilhørende normen til å være

$||u|{|}_{W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}=\{\begin{array}{c}\sum _{|\alpha |\le k}(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|D^{\alpha }u{|}^{p}dx{)}^{1/p}\text{hvis }1\le p<\mathrm{\infty }\\ \sum _{|\alpha |\le k}\mathrm{ess}\underset{\mathrm{\Omega }}{\sup }|D^{\alpha }u|\text{hvis }p=\mathrm{\infty }\end{array}$

der

$D^{\alpha }=\frac{\partial u^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}...\partial x_n^{{\alpha }_n}}$

for en vektor $\alpha =({\alpha }_1,...{\alpha }_n)$ der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\le k$.

Normen over er ekvivalent med normen

$||u|{|}_{W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}=\sum _{|\alpha |\le k}||D^{\alpha }|{|}_{L^p(\mathrm{\Omega })}$

for $1\le p\le \mathrm{\infty }$.

Egenskaper

Lineære egenskaper

La $u,v\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$, og $|\alpha |\le k$. Da gjelder

1. $D^{\alpha }u\in W^{k-|\alpha |,p}(\mathrm{\Omega })$
2. $D^{\beta }(D^{\gamma }u)=D^{\gamma }(D^{\beta }u)=D^{\gamma +\beta }u$ dersom $\beta$ og $\gamma$ er multiindekser slik at $|\beta |+|\gamma |\le k$
3. Hvis $\lambda ,\mu \in ℝ$ er også $\lambda u+\mu v\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$
4. Hvis $\lambda ,\mu \in ℝ$ er $D^{\alpha }(\lambda u+\mu v)=\lambda D^{\alpha }(u)+\mu D^{\alpha }v$
5. Hvis $A$ er en åpen delmengde av $\mathrm{\Omega }$ er $u\in W^{k,p}(A)$
6. Dersom $f\in C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$ (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også $fu\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$, og

   $D^{\alpha }(fu)=\sum _{\beta \le \alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })D^{\beta }f{D}^{\alpha -\beta }u$ (Leibniz' formel).

Kompletthet

For enhver $k=1,2,...$ er Sobolev-rommet $W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ komplett, og dermed et Banach-rom.

Utvidelser

Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$, der $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet $W^{1,p}({ℝ}^n)$, altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i utvidelsesteoremet, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.

Utvidelsesteoremet

Dersom $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ er begrenset og randen $\partial \mathrm{\Omega }$ er kontinuerlig (i $C^1$). Da finnes det en begrenset lineær operator E

$E:W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\to W^{1,p}({ℝ}^n)$

slik at for enhver $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$, er

$Eu=u$ nesten overalt i $\mathrm{\Omega }$,

og

$||Eu|{|}_{W^{1,p}({ℝ}^n)}\le C||u|{|}_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$

der $C$ er en konstant avhengig av $p$ og $\mathrm{\Omega }$. E kalles for utvidelsen av $u$ til ${ℝ}^n$.

Traser

I flere tilfeller er det interessant å studere randen av $\mathrm{\Omega }$, og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i $\bar{\mathrm{\Omega }}$ (tillukningen av den åpne mengden $\mathrm{\Omega }$) har den allerede slike verdier; en generell $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.

Traseteoremet

Anta at $1\le p<\mathrm{\infty }$, og at $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ er begrenset og at randen $\partial \mathrm{\Omega }$ er kontinuerlig (i $C^1$). Da finnes det en begrenset lineær operator

$T:W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\to L^p(\partial \mathrm{\Omega })$

slik at

1. $Tu=u{|}_{\partial U}$ dersom $u\in C(\bar{\mathrm{\Omega }})$

og

1. $||Tu|{|}_{L^p(\partial U)}\le C||u|{|}_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$

for alle $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$, der C er en konstant avhengig av $p$ og $\mathrm{\Omega }$. T kalles for sporet til $u$ på $\partial \mathrm{\Omega }$.

Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av $\mathrm{\Omega }$, og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$.

Traser med verdi 0

Anta at $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ er begrenset og at randen $\partial \mathrm{\Omega }$ er kontinuerlig (i $C^1$), samt at $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$. Da er

$u\in W_0^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ hvis og bare hvis $Tu=0$ på $\partial \mathrm{\Omega }$.

Her betegner $W_0^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ mengden av alle funksjoner $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ som er slik at det finnes en følge $\{u_m{\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte ($u_m\in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ for alle m) som konvergerer til $u$ med hensyn på normen $||\cdot |{|}_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$.

Sobolev-ulikhetene

Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom n, p og k sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og $L^p$-rom.

For $1\le p<n$ kan man definere den Sobolev-konjugerte av p til å være

$p^{*}:=\frac{np}{n-p}$

hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.

For to Banach-rom $X,Y$ slik at $X\subset Y$ sier vi at X er kompakt embeddet i Y dersom

1. $||u|{|}_y\le C||u|{|}_X$ for alle $u\in X$, for en konstant $C$, og
2. for hver begrenset følge $\{u_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ i X har denne en konvergent delfølge:

   $\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }||u_{k_j}-u|{|}_Y=0$.

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten

Anta at $1\le p<n$. Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at

$||u|{|}_{L^{p*}({ℝ}^n)}\le C||Du|{|}_{L^p({ℝ}^n)}$

for alle $u\in C_c^1({ℝ}^n)$.

Her betegner $C_c^1({ℝ}^n)$ rommet av alle kontinuerlige funksjoner $f:{ℝ}^n\to ℝ$ med kompakt støtte. Denne ulikheten ble bevist for $1<p<\mathrm{\infty }$ av Sergei Sobolev, og for $p=1$ både av Emilio Gagliardo og Louis Nirenberg (uavhengig av hverandre).

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ er slik at $Du=0$ nesten overalt i $\mathrm{\Omega }$, så er også $u=0$ nesten overalt i $\mathrm{\Omega }$. Videre impliserer det også at for alle $q\in [1,p*]$ gjelder ulikheten

$||u|{|}_{L^q(\mathrm{\Omega })}\le C||Du|{|}_{L^p(\mathrm{\Omega })}$

der C er en konstant (kun) avhengig av $p$, $q$, $n$ og $|\mathrm{\Omega }|$.

Morreys ulikhet

Anta at $n<p<\mathrm{\infty }$. Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at

$||u|{|}_{C^{0,\gamma }({ℝ}^n)}\le C||u|{|}_{W^{1,p}({ℝ}^n)}$

for alle $u\in C^1(ℝ)$, der $||\cdot |{|}_{C^{0,\gamma }}$ angir Hölder-normen med eksponent $\gamma$, og $\gamma$ er gitt ved

$\gamma :=1-\frac{n}{p}$.

Hvis $u\in W^{1,p}({ℝ}^n)$, så er $u$ altså også Hölder-kontinuerlig med eksponent $\gamma$, gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l $u$ over en mengde med mål 0.

Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem

Anta at U er en begrenset, åpen delmengde av ${ℝ}^n$ og at randen $\partial U$ er kontinuerlig. Anta videre at $1\le p<n$. Da er $W^{1,p}(U)$ en kompakt embeddet i $L^p(U)$ for alle $q\in [1,p^{*})$.

Litteratur

• Mal:Kilde bok
• Mal:Kilde www