Stokastisk prosess

En stokastisk prosess er et matematisk objekt som anvendes for å beskrive tilfeldige (stokastiske) forandringer.

En reell stokastisk prosess $X$ er en samling $X=\{X_t{\}}_{t\in T}$ av stokastiske variabler $X_t:\mathrm{\Omega }⟶ℝ,$ som er definert i samme sannsynlighetsrom $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$. Hvis indeksmengden $T$ er diskret, sier man at $X$ er en stokastisk prosess i diskret tid, og dersom indeksmengden er kontinuerlig sier man at $X$ er en stokastisk prosess i kontinuerlig tid.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel er et sannsynlighetsmål ${\mu }_t$ på Borel sigma-algebraen på mengden av de reelle tallene $ℝ$:

${\mu }_t(A)=P(X_t\in A),A\in ℬ(ℝ).$

De endelig-dimensjonale fordelingene for en stokastisk prosess er mengden $\{{\mu }_{(t_1,\dots ,t_n)}{\}}_{t_1,\dots ,t_n\in T,n\ge 1}$ av alle tenkbare flerdimensjonale sannsynlighetsfordelinger som assosieres med den stokastiske prosessen:

${\mu }_{(t_1,\dots ,t_n)}(A_1,\dots ,A_n)=P(\{X_{t_1}\in A_1\}\cap \cdots \cap \{X_{t_n}\in A_n\}),$

der index $t_1,\dots ,t_n\in T$ og mengdene $A_1,\dots ,A_n\in ℬ(ℝ),$ for hvert valg av heltallet $n\ge 1.$

Assosiert med en stokastisk prosess er dens forventningsverdifunksjon

$m:T⟶ℝ$

og dens kovariansfunksjon

$c:T\times T⟶ℝ.$

Disse defineres av følgende integraler med hensyn på sannsynlighetsmålet $P$.

$m(t)=E[X_t]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{X}_t(\omega )dP(\omega )$

og

$c(s,t)=E[X_s{X}_t]-E[X_s]E[X_t]$,

der forventningsverdien $E[X_s{X}_t]$ beregnes i produktrommet $(\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega },ℱ\times ℱ,P\times P):$

$E[X_s{X}_t]=\underset{\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }}{\int }{X}_s(\omega )X_t(\eta )d(P\times P)(\omega ,\eta ).$

Hvis det viser seg at de endelig-dimensjonale fordelingene for den stokastiske prosessen X er absolutt kontinuerlige med hensyn på Lebesgue-målet, så kan den forventningsverdien over skrives som

$E[X_t]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_{X_t}(x)dx$

og

$E[X_s{X}_t]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xy{f}_{(X_s,X_t)}(x,y)dxdy,$

der funksjonen $f_{X_t}:ℝ⟶ℝ$ er den Radon-Nikodym-deriverte av sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen $X_t$ med hensyn på Lebesgue-målet på $ℝ$

$f_{X_t}=\frac{d{\mu }_t}{dx}.$

Denne deriverte kalles innenfor sannsynlighetsteori og statistikk for den stokastiske variabelens tetthetsfunksjon. På motsatt vis er funksjonen $f_{X_s,X_t}:ℝ\times ℝ⟶ℝ$ Radon-Nikodym-derivatet

$f_{X_s,X_t}=\frac{{\mu }_{s,t}}{dxdy}$

av sannsynlighetsfordelingen for den to-dimensjonale stokastiske variabelen $(X_s,X_t)$ med hensyn på Lebesgue-målet i området ${ℝ}^2.$

Stokastiske prosesser forekommer ofte i teknisk, økonomisk og finansiell teori.

Eksterne lenker

• Mal:Offisielle lenker