Andregradsflate

En andregradsflate er i matematikken definert som løsningsmengden til et kvadratisk polynom med flere ukjente. Den kan betraktes som en hyperflate i et affint rom med en dimensjon som er gitt ved antall ukjente i polynomet. Med to ukjente reduseres denne flaten til et kjeglesnitt i planet. Av den grunn kalles kalles også løsningsmengden med tre ukjente for en kjeglesnittsflate. I det generelle tilfellet med n ukjente gir polynomet opphav til en hyperflate i n dimensjoner og omtales vanligvis som en kvadrikk. Den er et eksempel på en matematisk varietet.

Hvis de n ukjente kalles x₁, x₂, ... , x_n, kan de betraktes som koordinater i det omsluttende, affine rommet. Ligningen som definerer andregradsflaten har da den generelle formen

\sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} + 2 \sum_{i = 1}^{n} b_{i} x_{i} + c = 0

der a_ij er elementer i en n × n matrise som man kan anta er symmetrisk. Likedan utgjør b_i komponentene til en n-dimensjonal vektor og c er en konstant. Disse parametrene tar vanligvis verdier som er reelle eller komplekse tall. Ligningen kan derfor skrives på den mer kompakte formen

x^{T} a x + 2 x^{T} b + c = 0

hvor x^T er en linjematrise som er den transponerte av kolonnematrisen x.

I matematiske undersøkelser av egenskapene til andregradsflater er det ofte av interesse å utvide det omsluttende rommet til å være et projektivt rom med koordinater X = Mal:Nowrap. Det affine rommet kan da avgrenses ved å sette x₀ = 1. Kvadrikken tar da den enda mer kompakte formen

X^{T} A X = 0

hvor nå A er en (n + 1)×(n + 1) symmetrisk matrise gitt som

A = (\begin{matrix} a & b \\ b^{T} & c \end{matrix})

I Den opprinnelige ligningen for den tilsvarende hyperflaten fremkommer da ved å benytte at x^T b = b^T x.

Tre dimensjoner

Når det omsluttende rommet har n = 3 dimensjoner, representerer løsningsmengden en todimensjonal flate. Ved en diagonalisering vil da den definerende ligningen kunne reduseres til forskjellige normalformer hvorav mange er av formen

\frac{x^{2}}{a^{2}} \pm \frac{y^{2}}{b^{2}} \pm \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

når den har sitt senter i origo (0,0,0). I det tredimensjonale rommet finnes det 16 slike forskjellige normalformer. De mest interessante er følgende:

Flate	Ligning	Form
Ellipsoide	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$
Rotasjonsellipsoide eller sfæroide (spesialtilfelle av ellipsoide)	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / a^{2} + z^{2} / b^{2} = 1$
Kule (spesialtilfelle av rotasjonsellipsoide)	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / a^{2} + z^{2} / a^{2} = 1$
Elliptisk paraboloide	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} - z = 0$
Sirkulær paraboloide (spesialtilfelle av elliptisk paraboloide)	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / a^{2} - z = 0$
Hyperbolsk paraboloide	$x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} - z = 0$
Enkappet hyperboloide	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} - z^{2} / c^{2} = 1$
Tokappet hyperboloide	$x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} - z^{2} / c^{2} = 1$
Kjegle	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} - z^{2} / c^{2} = 0$
Elliptisk sylinder	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$
Sirkulær sylinder (spesialtilfelle av elliptisk sylinder)	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / a^{2} = 1$
Hyperbolsk sylinder	$x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$
Parabolsk sylinder	$x^{2} + 2 y = 0$