Eksentrisk anomali

Eksentrisk anomali, betegnet: E, er for en planet vinkelen mellom perihelium og planetens posisjon projisert på en sirkel med samme radius og samme sentrum som store halvakse for baneellipsen målt i baneellipsens origo.

Den eksentriske anomalien for punktet P er vinkelen E. Ellipsens midtpunkt ligger i C og dets brennpunkt (fokus) i F. Den radielle posisjonsvektoren r går ut i fra brennpunktet F, ikke fra ellipsens sentrum C. Store halvaksens hjelpesirkel har radien a; lille halvaksens hjelpesirkel har radien b. Den sanne anomalien betegnes i denne figuren med $f$, men betegnes ofte med $\nu$

Eksentrisk anomali er en av flere vinkelparametere innført av Johannes Kepler. I tillegg til eksentrisk anomali er de to viktigste midlere anomali og sann anomali. Begrepet «anomali» referer til at planetbanene avviker fra sirkler.

«Eksentrisk» viser til at vinkelen refererer seg til ellipsens sentrum, som er eksentrisk i forhold til solen.

Punktet P, planetens posisjon, har parametriseringen $(a\cos E,b\sin E)$. Vinkelen $E$ peker ikke mot planeten unntatt når $E$ er et heltall ganger 90 grader.

Den eksentriske anomalien er relatert til midlere anomali gjennom Keplers ligning:

$M=E-e\cdot \sin E$

der $e$ er banens eksentrisitet og $M$ er planetens midlere anomali. Vinklene $M$ og $E$ må gis i radianer.

Ligningen har ikke en endelig analytisk løsning for $E$ for gitte $M$ og $e$. Ligningen løses i praksis med en numerisk iterativ metode, for eksempel Newton-Raphsons metode.

Hvis $e$ er liten, kan i stedet en avkortet rekkeutvikling benyttes:

$\begin{array}{c}E=M+e\cdot \sin M+\frac{e^2}{2!\cdot 2}(2\sin 2M)+\frac{e^3}{3!\cdot 2^2}(3^2\sin 3M-3\sin M)+\frac{e^4}{4!\cdot 2^3}(4^3\sin 4M-4\cdot 2^3\sin 2M)+....\end{array}$

Planetens avstand $r$ fra sentrallegemet (solen) (FP i figuren) uttrykt ved $E$ finnes som:

$r=a(1-e\cdot \cos E)$

Når den eksentriske anomalien er beregnet, kan man ut av dette beregne den sanne anomalien, $\nu$ (vinkelen $f$ i figuren):

$\nu =2\cdot {\tan }^{-1}(\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\cdot \tan \frac{E}{2})$

Eksentrisk anomali kan også brukes for en satellitts bevegelse rundt jorden, eller for et annet himmellegemes bevegelse rundt et annet, betydelig større sentrallegeme.

Litteratur

• Mal:Kilde bok
• Mal:Kilde bok [Reprint av Cambridge University Press-utgaven fra 1918]