Residyteoremet
I kompleks analyse, er residyteoremet, noen ganger kalt Cauchys residysetning, et kraftig verktøy for å evaluere linjeintegraler av komplekse analytiske funksjoner over lukkede kurver; det kan også brukes til å beregne reelle integraler og uendelig serie. Teoremet generaliserer Cauchy integralteorem og Cauchys integrerte formel. Fra et geometrisk perspektiv kan det sees på som et spesielt tilfelle av generalisert stokes teorem.
Uttalelse
Erklæringen er som følger:
La Mal:Mvar være et enkelt lukket åpen mengde av de kompleks plan som inneholder en endelig liste over punktene Mal:Matte, Mal:Matte, og en funksjon Mal:Mvar som er definert og holomorf på Mal:Matte. La Mal:Mvar være en lukket korrigerbar kurve i Mal:Matte, og betegn viklingsnummeret av Mal:Mvar rundt Mal:Matte av Mal:Matte. Linjeintegralet til Mal:Mvar rundt Mal:Mvar er lik Mal:Matte ganger summen av residyene av Mal:Mvar på punktene som er tellt like mange ganger som Mal:Mvar vikler seg rundt punktet:Hvis Mal:Mvar er en positivt orientert enkel lukket kurve. Mal:Matte hvis Mal:Matte er på imsiden av Mal:Mvar, og 0 hvis ikke, derfor følgermed summen over Mal:Matte inni Mal:Mvar.[1]
Forholdet mellom restsetningen og Stokes teorem er gitt av Jordans curve theorem. Den generelle plan kurven Mal:Mvar må først reduseres til et sett med enkle lukkede kurver Mal:Math hvis total tilsvarer Mal:Mvar for integrasjonsformål; dette reduserer problemet til å finne integralet av Mal:Matte langs en Jordan-kurve Mal:Matte med i Mal:Mvar på insiden. Kravet om at Mal:Mvar skal være holomorf på Mal:Matte tilsvarer uttalelsen om at utvendige derivater Mal:Matte på Mal:Matte. Dermed hvis to regioner av plan Mal:Mvar og Mal:Mvar av Mal:Mvar omslutter samme delmengde Mal:Matte av Mal:Matte, vil regionene Mal:Matte og Mal:Matte ligger fullstendig innenfor Mal:Matte. Dermed følger det ater veldefinert og lik null. Følgelig så er konturen integrert av Mal:Matte langs Mal:Matte er lik summen av et sett med integraler langs stier Mal:Matte, hver omslutter en vilkårlig liten region rundt en enkelt Mal:Matte - rester av Mal:Mvar (opp til den konvensjonelle faktoren Mal:Matte) på Mal:Matte. Oppsummering over Mal:Matte, gjenoppretter vi det endelige uttrykket for konturintegralet når det gjelder svingete tall Mal:Matte.
For å evaluere reelle integraler brukes resedysetningen på følgende måte: integranden utvides til det komplekse planet og dets residyer blir beregnet (noe som vanligvis er enkelt), og en del av den virkelige aksen utvides til en lukket kurve ved å feste en halv sirkel i øvre eller nedre halvplan, og danner en halvsirkel. Integralet over denne kurven kan deretter beregnes ved hjelp av residyteoremet. Ofte vil halvsirkeldelen av integralet gå mot null ettersom radiusen til halvsirkelen vokser, og etterlater bare den reelle aksedelen av integralet, som vi opprinnelig var interessert i.
